Simulácia metódou Monte Carlo

Monte Carlo simulácia

Výrobný podnik chce posúdiť konštrukciu novo navrhovaného produktu. Malé piestové čerpadlo musí zvládnuť pumpovať 12ml kvapaliny za 1 minútu. Simuláciou, prostredníctvom tisícov údajov vyrábaných púmp, chce podnik odhadnúť pravdepodobný výkon nového modelu, vzhľadom na prirodzenú variabilitu priemeru piestu Ø, dĺžky zdvihu (L) a počtu zdvihov za minútu (PZM). V ideálnom prípade chce konštruktér nového modelu, aby prietok čerpadla nemal štandardnú odchýlku väčšiu ako 0,2ml.

Pri každej simulácii musíme poznať kvantitatívnu závislosť, spojitosť resp. matematickú rovnicu, ktorá popisuje vzťah vstupných parametrov a ich odozvu na očakávaný výstup. V súvislosti s uvedeným zadaním vieme prietok čerpadla kvantitatívne popisovať všeobecne známou rovnicou:

Prietok (ml) = π(Ø/2)² . L . PZM

V uvedenej rovnici budeme teda pracovať s 3 vstupnými parametrami Ø, L, PZM a pre každý z nich musíme definovať ich distribúciu a štatistické parametre. Priemer piestu čerpadla a dĺžka zdvihu sú známe, ale musíme vypočítať počet zdvihov za minútu (PZM) potrebných pre dosiahnutie požadovaného prietoku 12 ml /minútu. Objem čerpaný na zdvih, je daný touto rovnicou:

π(Ø/2)² . L

Vzhľadom na Ø = 0,8 a L = 2,5, každý zdvih presúva 1,256 ml. Takže na dosiahnutie prietoku 12 ml /min je PZM = 9,549.

Na základe výkonu ostatných modelov čerpadiel, ktoré podnik doteraz vyrobil, môžeme povedať, že:

• Priemer piestu je z pohľadu distribúcie normálne rozdelený s priemerom 0,8 cm a štandardnou odchýlkou 0,003 cm.
• Dĺžka zdvihu je normálne rozdelená s priemerom 2,5 cm a štandardnou odchýlkou 0,15 cm.
• Zdvihy za minútu sú normálne rozdelené s priemerom 9,549 zdvihov za minútu a so štandardnou odchýlkou 0,17 zdvihov za minútu.

V prípade, že nepoznáme vhodný všeobecný model, či matematickú rovnicu pre požadovaný výstup, alebo sa jedná o prípad simulácie unikátneho, nového procesu, môžeme použiť model regresnej analýzy, prípadne DoE Response Surface.

Po kvantitatívnom vyjadrení, môžeme pristúpiť k samotnej simulácii, ktorá bude modelovať výrobu piestového čerpadla, vzhľadom na dosahovanie očakávaných parametrov produktu (prietok 12ml/min a štandardnou odchýlkou prietoku menšou ako 0,2).

Pomocou vybranej software podpory (Minitab, Quality Companion) dokážeme vytvoriť niekoľko stotisíc riadkov simulovaných údajov. Začneme s generovaním dát pre priemer piestu Ø, pričom generujeme náhodné údaje s adekvátnymi parametrami priemeru (0,8) a štandardnej odchýlky (0,003). Podobne generujeme dáta tiež pre dĺžku zdvihu a počtom zdvihov za minútu.

Obr.1 Ukážka vygenerovaných 100000 údajov v Minitab.

Keďže nás v zadaní zaujíma dosahovaný prietok čerpadla, vypočítame tento pomocou hore uvedeného vzťahu pre každý jeden riadok. Po zadaní rovnice software rýchlo vypočíta pre každý zo 100000 riadkov hodnotu prietoku (stĺpec Prietok).

Obr.2 Hodnota vypočítaného prietoku za každý riadok v stĺpci C4 – Prietok.

Ďalej môžeme cez numerickú a grafickú analýzu začať vyhodnocovať výsledky. Použitím nástroja Graphical Summary máme k dispozícií histogram s preloženou krivkou normálneho rozdelenia, box plot, intervaly spoľahlivosti pre priemer aj pre medián a popis deskriptívnej štatistiky cez zvolené štatistické charakteristiky (priemer, odchýlka, hodnoty kvartilov atd.)

Obr.3 Výsledok Graphical Summary v software Minitab.

Obr.4 Grafický výsledok simulácie Monte Carlo v software Quality Companion.

Na základe náhodne vygenerovaných 100tisíc údajov je Minitabom vypočítaná dosahovaná stredná hodnota prietoku 11,998. V úvode zadania sme požadovali, aby čerpadlo zvládlo pumpovať 12ml kvapaliny za 1 minútu, čo sme so zaokrúhlením v priemere dosiahli, pričom ale pri pohľade na dosiahnutú najmenšiu hodnotu 8,897 a najväčšiu hodnotu 15,629 existuje vysoké rozpätie dosahovaného prietoku.

Z pohľadu druhej cieľovej hodnoty zadania, aby prietok čerpadla na tisíce púmp nemal štandardnú odchýlku väčšiu ako 0,2 ml, sa nám tento parameter nepodarilo na náhodne vygenerovaných údajoch dosiahnuť – hodnota StDev 0,755. Napokon cieľová hodnota 0,2 ml sa nachádza mimo pásma intervalu spoľahlivosti pre StDev.

Zdá sa, že tento konštrukčný návrh čerpadla vykazuje príliš veľa variability v očakávanom výsledku jeho primárnej funkcie a je potrebné ho ďalej vylepšovať predtým, ako sa bude sériovo vyrábať.

Keďže využívame nástroj simulácia, môžme sa v ďalšej fáze pokúsiť optimalizovať hodnoty vstupov modelu (polohu strednej hodnoty a variabilitu) za účelom zlepšenia očakávaného výstupu. Software nástroj Quality Companion ponúka nástroj parameter optimization. V prípade, že zmeníme rozpätie parametrov jednotlivých vstupov, simulácia ponúkne výsledok tejto zmeny na výstupe. Napr. pri zmene parametrov pre vstupy priemer a dĺžka na obr.5 (vstup PZM resp. RPM anglicky, sme nastavili ako Noise – šumový) sa zlepšil výsledok z pôvodných 49,83% Out of Spec (obr.4) na 38,46% (obr.6).

 Obr.5 Ukážka možností nástroja Parameter Optimization v software Quality Companion.

Obr.6 Ukážka kvantitatívnej zmeny výstupu nástroja Parameter Optimization.

Monte Carlo simulácia s príslušným štatistickým softvérom (napr. Minitab, alebo Quality Companion) dokáže vopred ponúknuť odhad budúcej výkonnosti cez definované kľúčové parametre bez toho, aby sme vynaložili náklady na výrobu a testovanie tisícov prototypov.

Základná myšlienka simulácie Monte Carlo používa opakované náhodné vzorkovanie na následnú simuláciu dát,  podľa konkrétneho matematického, alebo fyzikálneho modelu za účelom predpovedania požadovaného výsledku.

Pri zrode metódy v 40.rokoch 20 storočia vedci zistili, že pokiaľ vytvoria dostatok simulovaných dát, môžu vypočítať spoľahlivé pravdepodobnosti a znížiť tak  množstvo zdrojov potrebných na testovanie a prototyping v rôznych oblastiach ľudského snaženia.

Ing. Peter Kormanec
konzultant
kormanec@4industry.consulting

Článok je pripravený na základe prednášky z konferencie ASQ Lean Six Sigma, Február 2012, Paula Sheehy, Minitab training specialist.

„Časť informácií obsiahnutých v tejto publikácii (obrázky menu, dáta) je zobrazená so súhlasom spoločnosti Minitab Inc. Všetky takéto materiály zostávajú výlučným vlastníctvom a autorskými právami spoločnosti Minitab Inc. Všetky práva vyhradené.“

Spoločnosť 4industry consulting je zmluvne oprávnená spoločnosťou Minitab Ltd okrem iného, tiež formou knižných publikácií, článkov či iných dokumentov demonštrovať praktické ukážky využitia softwéru Minitab a Quality Companion.